Zadanie nr 1 - Zbiory liczbowe

Dział: "Liczby rzeczywiste i działania na nich"
Temat: "Pojęcie zbiorów liczbowych"

Pewna osoba właśnie przysłała do Nas prośbę o rozwiązanie kłopotliwego dla Niej zadania. Jak to MY od razu bierzemy się do roboty i bez dalszych wstępów przechodzimy do sedna. (Nie ujawniamy Jej danych osobowych, ponieważ taka była Jej prośba 👊)

I pamiętajcie ❗❗❗
Wy też możecie pytać Nas o wszystko, a my jeśli będziecie mieli taką wolę, nie ujawnimy Waszych danych osobowych 🙂

Zatem do dzieła...

Zadanie nr 1)

W supermarkecie na półce znajdują się 234 opakowania płynów do prania, w tym 157 do prania wyłącznie w pralkach automatycznych i 97 do prania ręcznego. Czy wśród wszystkich opakowań są płyny, które można stosować do prania ręcznego i do prania w pralce automatycznej? Ile jest takich płynów?

Rozwiązanie:

Żeby rozwiązać to zadanie możemy skorzystać w dwóch metod:

• Po pierwsze z metody związanej z przerabianym przez Nas tematem, czyli za pomocą zbiorów liczbowych lub,
• Po prostu za zwykłych wzorach 😏

Sposób I

Zaczniemy od tej pierwszej metody, a więc jakby miało wyglądać rozwiązanie tego zadania za pomocą zbiorów ❓❓ 

Musielibyśmy najpierw przybliżyć Wam kilka "relacji" jakimi mogą się darzyć zbiory. Spójrzcie, więc na grafikę poniżej ↓↓↓

Relacje zbiorów !

• "Sumą zbiorów" nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą do zbioru "A" lub do zbioru "B" (jak na rysunku powyżej),
• "Różnicą zbiorów" nazywa zbiór tych elementów, które należą do zbioru "A" i nie należą do zbioru "B",
• "Iloczynem zbiorów" nazywamy zbiór tych wszystkich elementów, które należą zarówno do zbioru "A" jak i do zbioru "B".

Teraz, gdy już wiemy trochę więcej na temat relacji pomiędzy poszczególnymi zbiorami wróćmy do rozwiązania zadania.

Mój sposób jest może troszeczkę słaby w zapisie matematycznym, ale myślę, że jest przez to prostszy w zrozumieniu, co mam nadzieję docenicie 🙂 Zatem rzućcie okiem na grafikę, a potem wyjaśnię co i jak ↓↓↓

rys. 1

Jak widać na grafice, suma zbiorów "A" i "B" wynosi 234. Tak więc każdy z płynów do prania należy albo do "A- płynów do automatu" albo "B- płynów do prania ręcznego". Wiemy także że do zbioru "A" należy 157 elementów, a do zbioru "B" 97. Niestety nie mamy na (rys. 1) żadnego z tych zbiorów w czystej postaci, jednakże możemy je uzyskać, a jak ?? Popatrzcie 😉

Zbiór "A" możemy zapisać jako sumę zbiorów, w ten sposób:
(działanie nr 1)

A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) lub po mojemu
A = (A \ B) + (A ∩ B) 

A Zbiór "B" jako sumę zbiorów, w ten sposób:
(działanie nr 2)

B = (B \ A) ∪ (A ∩ B) lub po mojemu
B = (B \ A) + (A ∩ B)

Teraz przejdźmy do zapisania równania:

(A ∪ B) = (A \ B) + (B \ A) + (A ∩ B) 

Tak wygląda "mój zapis" tego równania za pomocą zbiorów i póki co chyba wszystko jest jasne ❓ Widać, że całość czyli "A ∪ B" składa się z trzech elementów 😏 Niestety nie znamy konkretnej liczby "płynów do prania" znajdującymi się w poszczególnych zbiorach, dlatego spróbujemy zapisać to równanie w trochę innej formie:  

Zamiast A\B wpiszemy A - A∩B, zgodnie z przekształceniem "działania nr 1" i tak samo zamiast B\A wpiszemy B - A∩B, zgodnie z przekształceniem "działania nr 2" .

(A ∪ B) = A - (A ∩ B) + B - (A ∩ B) + (A ∩ B)

Teraz skrócimy równanie i jedyną niewiadomą jaka pozostanie jest zbiór "A ∩ B", czyli część wspólna obu zbiorów "A" i "B", czyli to czego szukamy 😏

(A ∪ B) = A - (A ∩ B) + B - (A ∩ B) + (A ∩ B)

(A ∪ B) = A + B + (A ∩ B)

Przekształćmy teraz tak żeby niewiadoma znalazła się po lewej, a cała reszta po prawej.

 (A ∩ B) = -A - B + (A ∪ B)

Podstawmy liczby:

(A ∩ B) = - 157 - 97 + 234 = 20

No i mamy wynik 😉

Sposób II

Teraz za pomocą wzorów uzyskamy ten sam wynik. Zaczniemy znów od grafiki ↓↓↓

rys. 2

I zapiszemy równanie dla tego układu:

157-x+x+97-x=234

157-x+x+97-x=234

157+97-x=234

157+97-234=x

20=x

No i mamy wynik identyczny z poprzednim 😉 Także sformułujmy odpowiedź.

Odp.: Wśród wszystkich opakowań płynów do prania są takie, które możemy stosować zarówno do prania ręcznego jak i w automacie i jest ich 20.

"Tyle jest w każdym poznaniu nauki, ile jest w nim matematyki." 

Immanuel Kant

Mamy nadzieję, że wszystko jest jasne, ale jeśli macie jakieś pytania do tego zadania, bądź coś jest dla Was niezrozumiałe to piszcie w komentarzach, a my się do nich z całą pewnością odniesiemy 🙂 a tymczasem pierwsze zadanie za Nami i z niecierpliwością oczekujemy kolejnych 😉

Pozdrawiamy,
Zespół MATHattendant